How to use Google reCAPTCHA to block a certain part of a page?

You need to use a request to send the response up to your backend, validate it and return a HTML with the value to be displayed.

The first step is to create a function AJAX. Let's use the function wp ajax.

In your file functions.php

<?php

/* Sua chave secreta do Google reCaptcha */
define('RECAPTCHA_SECRET', 'Your-Secret');

/*
 * Adiciona ações para captura via AJAX
 * Para acessa-las basta enviar uma requisição
 * para https://www.YOUR-SITE.com/wp-admin/admin-ajax.php?aciton=nome-da-acao
 */
add_action('wp_ajax_carrega_post', 'carrega_post');
add_action('wp_ajax_nopriv_carrega_post', 'carrega_post');

/*
 * Função responsável por verificar o response do capcha
 * E liberar o conteúdo do POST
 */
function carrega_post() {

    /* Cria um contexto do tipo HTTP POST com o valor do response */
    $context = stream_context_create([
        'http' => [
            'method'  => 'POST',
            'content' => http_build_query([
                'secret'   => RECAPTCHA_SECRET,
                'response' => filter_input(INPUT_POST, 'response', FILTER_SANITIZE_STRING),
            ])
        ]
    ]);

    /* Faz uma requisição do tipo POST para o servidor da Google */
    $result = json_decode(file_get_contents("https://www.google.com/recaptcha/api/siteverify", FILE_BINARY, $context));

    /* Verifica se o valor do captcha é válido */
    if ( $result->success ) {

        /* 
         * Aqui você pode fazer sua regra de 
         * negócio para capturar o que 
         * você deseja
         */

        $post = (new WP_Query( intval($_POST['postID']) ))->posts[0];

        echo "Conteúdo do post \"{$post->post_title}\" liberado";

        wp_die();
    }
}

In your single file .php or similar (will depend on your structure), just put the captcha and add a connection form. I will post with Fetch and XMLHttpRequest, go stays at your discretion.

<?php
/**
 * Template test
 *
 * @author Valdeir Psr < http://www.valdeirpsr.com.br >
 * @version 1.0
 */

get_header(); ?>

<div id="g-recaptcha"></div>

<script src="https://www.google.com/recaptcha/api.js?onload=onloadCallback"></script>
<script>
function onloadCallback() {

    /* Cria o captcha na DIV indicada */
    grecaptcha.render('g-recaptcha', {
        'sitekey' : 'Your-Code',
        'callback' : 'verificaCaptcha'
    });
}

/* Função responsável por receber o responseCode e fazer a requisição */
function verificaCaptcha(response) {

    alert("Aguarde...");

    /* Cria um formulário */
    let form = new FormData();
    form.append("response", response);
    form.append("postID", "<?php the_ID(); ?>");

    /* Cria uma requisição no formato POST com os dados acima */
    let request = new Request("<?php echo home_url() ?>/wp-admin/admin-ajax.php?action=carrega_post", {
        method: "POST",
        body: form,
        cache: "no-cache"
    });

    /* Envia a conexão e retorna os dados */
    fetch(request)
        .then( response => {
            return response.text()
        } )
        .then( text => alert(text) );
}
</script>

<?php get_footer();

Example with XMLHttpRequest:

/* Função responsável por receber o responseCode e fazer a requisição */
function verificaCaptcha(response) {

    alert("Aguarde...");

    /* Cria um formulário */
    let form = new FormData();
    form.append("response", response);
    form.append("postID", "<?php the_ID(); ?>");

    let xhr = new XMLHttpRequest();
    xhr.addEventListener("load", result => {
        alert( result.target.response )
    })
    xhr.open("POST", "<?php echo home_url() ?>/wp-admin/admin-ajax.php?action=carrega_post", true);
    xhr.send(form);
}